Transformaçoes de Siegel e o grupo $\Omega$

$\newcommand{\P}{\mathcal P}$
$\newcommand{\C}{\mathcal C}$
$\newcommand{\F}{\mathbb F}$
$\newcommand{\T}{\mathcal T}$
$\newcommand{\ssp}[1]{\left<#1\right>}$
$\newcommand{\im}{\mbox{Im}}$

Seja $u\in V\setminus\{0\}$ isotropico e consideramos $W=\ssp u^\perp$. Seja $y\in W$ e definimos $\eta_{u,y}:W\rightarrow W$ como
$$ \eta_{u,y}:w\mapsto w+B(w,y)u. $$

Lema. Tem-se que

1. $\eta_{u,y}\in O(W)$
2. Se $y_1,\ y_2\in W$ entao $\eta_{u,y_1}\eta_{u,y_2}=\eta_{u,y_1+y_2}$.
3. Se $a\in\F_q^*$ entao $\eta_{au,y}=\eta_{u,ay}$;
4. $\eta_{u,y}^{-1}=\eta_{u,-y}$
5. $\eta_{u,y}^g=\eta_{ug,yg}$ para todo $g\in O(V)$. 

Demonstracao. So provamos 1 . Tem-se que 

$$ Q(w\eta_{u,y})=Q(w+B(w,y)u)=Q(w)+B(w,y)^2Q(u)=Q(w). $$

Entao $Q$ esta preservada por $\eta_{u,y}$ e como $B$ esta determinada por $Q$, ela tambem esta preservada.

Lema. A transformacao $\eta_{u,y}$ pode ser estendida unicamente a um elemento $\varrho_{u,y}$ de $O(V)$. 

Demonstracao. Pelo teorema de extensao de Witt, existe uma extensao $\varrho$. So temos de provar que $\varrho$ e unica. Seja $H=\ssp{u,v}$  um plano hiperbolico que contem $u$. Entao $V=H\oplus H^\perp$ e $H^\perp\leq\ssp u^\perp=W$. Entao $\varrho|_{H^\perp}$ esta unicamente determinada. Se existe uma outra extensao $\bar\varrho$, temos que $\varrho\bar\varrho^{-1}$ restrita a $H^\perp$ e a identidade e $u\varrho\bar\varrho^{-1}=u$. Entao $v'=v\varrho\bar\varrho^{-1}$ e ortogonal a $u$ e $B(u,v')=1$. Obtemos que $v'=v$, entao $\varrho=\varrho$.

Lema. Tem-se que

1. $\varrho_{u,y}\in O(W)$
2. Se $y_1,\ y_2\in W$ entao $\varrho_{u,y_1}\varrho_{u,y_2}=\varrho_{u,y_1+y_2}$.
3. Se $a\in\F_q^*$ entao $\varrho_{au,y}=\varrho_{u,ay}$;
4. $\varrho_{u,y}^{-1}=\varrho_{u,-y}$;
5. $\varrho_{u,y}^{g}=\varrho_{ug,yg}$ para todo $g\in O(V)$.

A transformacao $\varrho_{u,y}$ e chamada de transformacao Siegel.

Lema. Seja $(u,v)$ um par hiperbolico e $H=\ssp{u,v}$ o plano hiperbolico gerado por $u$ e $v$. Seja 

$$ K_u=\{\varrho_{u,y}\mid y\in H^\perp\}. $$

Entao $K_u\unlhd O(V)_{\ssp u}$ e $K_u$ e isomorfo ao grupo aditivo de $H^\perp$. 

Demonstracao. Se $y_1,\ y_2\in H^\perp$ entao $\varrho_{u,y_1}\varrho_{u,y_2}=\varrho_{u,y_1+y_2}$. Portanto a aplicacao $y\mapsto \varrho_{u,y}$ e um homomorfismo. Temos que $\varrho_{u,y}=1$ se e so se $y\in\ssp u$, entao a homomorphismo e injetivo. Claramente $u\varrho_{u,y}=u$ entao $K_u\leq O(V)_{\ssp u}$. Se $g\in  O(V)_{\ssp u}$ entao $\varrho_{u,y}^g=\varrho_{u,yg}$. Como $\varrho_{u,yg}\in K_u$, obtemos que $K_u\unlhd O(V)_{\ssp u}$. 

Definimos 

$$ \Omega(V)=\ssp{K_u\mid u\mbox{ e um vetor isotropico}}.
$$

As propriedades de $\Omega(V)$. 

Lema. Assumimos que $\dim V\geq 3$.  

1. $\Omega(V)'=\Omega(V)$ e simples com a excepcao de $\Omega^+(4,q)$ e $\Omega(3,3)$.
2. $\Omega(V)$ e primitivo sobre $\C(V)$. 

Corolario. $\Omega(V)$ e simples com a excepcao de $\Omega^+(4,q)$ e $\Omega(3,3)$.