$\newcommand{\P}{\mathcal P}$
$\newcommand{\C}{\mathcal C}$
$\newcommand{\F}{\mathbb F}$
$\newcommand{\T}{\mathcal T}$
$\newcommand{\ssp}[1]{\left<#1\right>}$
$\newcommand{\im}{\mbox{Im}}$
Lema. Seja $V$ um plano hiperbólico. Entao $O(V)\cong D_{q-1}$.
No restante, $V=\F_q^n$ e um espaco vetorial de dimensao $n$ sobre $\F_q$ onde $\mbox{char} \F_q=p$ e impar. Logo, $Q$ e uma forma quadratica nao degenerada com forma bilinear $B$ tal que $B(x,x)=2Q(x)$.
Proposicao. Seja $\tau\in O(V)$.
$\newcommand{\C}{\mathcal C}$
$\newcommand{\F}{\mathbb F}$
$\newcommand{\T}{\mathcal T}$
$\newcommand{\ssp}[1]{\left<#1\right>}$
$\newcommand{\im}{\mbox{Im}}$
Lema. Seja $V$ um plano hiperbólico. Entao $O(V)\cong D_{q-1}$.
No restante, $V=\F_q^n$ e um espaco vetorial de dimensao $n$ sobre $\F_q$ onde $\mbox{char} \F_q=p$ e impar. Logo, $Q$ e uma forma quadratica nao degenerada com forma bilinear $B$ tal que $B(x,x)=2Q(x)$.
Proposicao. Seja $\tau\in O(V)$.
- $\ker(\tau-1)=\im(\tau-1)^\perp$
- $(\tau-1)^2=0$ se e so se $\im(\tau-1)$ e totalmente isotropico.
- Se $v\in V\setminus 0$, entao $v(\tau-1)$ e isotropico se e so se $v(\tau-1)\perp v$.
- Se $(\tau-1)^2\neq 0$, entao existe um vetor $v\in V\setminus 0$, anistropico tal que $z=v(\tau-1)$ e anisotropico ou nulo. Logo, se $z\neq 0$, entao $v\tau\sigma_z=v$.
Demonstracao. 1., 2., 3., mais tarde.
4. Assumimos por contradicao que nao existe um tal vetor. Entao para todo vetor $v\in V\setminus 0$ anisotropico, $v(\tau-1)$ e isotropico. Entao $v(\tau-1)\perp v$ e o subespaco $\ssp{v,v(\tau-1)}$ e degenerado, portanto $\dim V\geq 3$.
Afirmamos que $w(\tau-1)\perp w$ para todo $w\in V$. Ja provamos isso no caso quando $w$ e anisotropico. Entao podemos assumir que $w$ e isotropico. Seja $x\in\ssp w^\perp$ anisotropico (existe, pois $\dim V\geq 3$) e seja $u=w+ax$ com $a\in\F_q^*$. Entao $Q(u)=a^2Q(x)\neq 0$ entao $u$ e anisotropico. Usando que $x$ e $u$ sao anistropicos, e assim $x(\tau-1)\perp x$ e $u(\tau-1)\perp u$ pelo paragrafo anterior, e entao
$$
0=B(u(\tau-1),u)=B(w\tau+ax\tau-w-ax,w+ax)=B(w\tau-w,w)+a(B(x\tau-x,w)+B(w\tau-w,x)).
$$
Como $a\in\F_q^*$ e arbitrario, a expressao depois de "a" tem de ser igual a 0. Por isso, $B(w(\tau-1),w)=0$, e concluimos que $\im(\tau-1)$ e totalmente isotropico que implica que $(\tau-1)^2=0$.
Obtemos entao que existe $v\in V\setminus 0$ anistropico tal que $z=v(\tau-1)$ e anisotropico ou nulo. Conta facil mostra que se $z\neq 0$, entao $v\tau\sigma_z=v$.
Teorema (Cartan-Dieudonne). $\tau\in O(V)$ pode ser escrito como um produto de $n$ ou menos reflexoes.
Usamos indacao em $n$. Se $n=1$, entao $O(V)=\{\pm 1\}$. A transformacao $-1$ e uma reflexao, enquanto a transformacao $1$ e um produto de 0 reflexoes. Assumimos que o teorema esta valido em dimensoes menores que $n$ e provamos o resultado para dimensao $n$. Seja $\tau\in O(V)$ um coutraexemplo em dimensao $n$.
Provamos primeiro que $(\tau-1)^2=0$. Senao seja $v\in V\setminus 0$ anisotropico tal que $z=v(\tau-1)$ e anisotropico ou $z=0$. Se $z=0$, entao $v\tau=v$ e $\tau$ pode ser considerado como uma transformacao de $\ssp{v}^\perp$. Neste caso $\tau$ e produto de $n-1$ ou menos reflexoes, uma contradicao.
Seja $z\neq 0$. Entao $v\tau\sigma_z=v$. Como acima, $\tau\sigma_z$ e um produto de $n-1$ ou menos reflexoes. Entao $\tau$ e um produto de $n$ ou menos reflexoes.
Obtemos entao que $(\tau-1)^2=0$, que implica que $\im(\tau-1)\leq \ker(\tau-1)$. Obtemos que $\im(\tau-1)$ e totalmente isotropico. De facto $\ker(\tau-1)$ tem de ser t. i., pois no caso contrario $\tau$ e um produto de $n-1$ ou menos reflexoes, exatamente como no caso $z=0$.
Entao
$$
\ker(\tau-1)\leq\ker(\tau-1)^\perp=\im(\tau-1)
$$
e
$$
\im(\tau-1)=\ker(\tau-1)=\ker(\tau-1)^\perp.
$$
Consequentemente
$$
n=\dim\ker(\tau-1)+\dim\ker(\tau-1)^\perp=\dim\mbox{Fix}(\tau)+\dim\mbox{Fix}(\tau)=2\dim\mbox{Fix}(\tau).
$$
Tem-se que $\tau$ restrita a $\mbox{Fix}(\tau)$ e identidade. Logo se $v\in V$ e $W=\mbox{Fix}(\tau)$, entao $v(\tau-1)(\tau-1)=0$, que implica que $v\tau-v\in\mbox{Fix}(\tau)$ e $(v+W)\tau=v\tau+W=v+v\tau-v+W=v+W$. Entao $\tau\in SO(V)$. Se $\sigma$ e uma reflexao de $O(V)$. Entao $\tau\sigma\not\in SO(V)$. Se $\tau\sigma$ fosse um counterexemplo para o teorema, obteriamos que $\tau\sigma\in SO(V)$, que nao e o caso. Entao $\sigma\tau$ e um produto de $n$ ou menos reflexoes. Entao $\tau$ e um produto de $n+1$ ou menos reflexoes.
Como $n$ e par e $\tau\in SO(V)$. obtemos que $\tau$ nao pode ser um produto de $n+1$ reflexoes. Entao $\tau$ e um produto de $n$ reflexoes.
Corolario. Seja $\tau\in O(V)$.
2. Segue diretamente de 1.
3. Se $\tau\in O(V)\setminus SO(V)$, entao $\tau$ e produto de 2 ou menos reflexoes. Como $\det\tau=-1$. nao pode ser produto de $2$ reflexoes. Entao $\tau$ e uma reflexao.
4. Se $1\neq\tau\in SO(V)$, entao $\tau$ e um produto de $2$ reflexoes. Portanto $\dim\mbox{Fix}(\tau)\geq 1$. Se $\dim\mbox{Fix}(\tau)=2$ entao $\mbox{Fix}(\tau)=\ssp{u,v}$ e a forma matricial de $\tau$ na base $\{u,v,w\}$ e
$$
\tau=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
\alpha & \beta & 1
\end{pmatrix}
$$
com $\alpha,\ \beta\in\F_1^*$. Entao $\ker(\tau-1)=\ssp{u,v}$ e $\im(\tau-1)=\alpha u+\beta v$. Como $\ker(\tau-1)=\im(\tau-1)^\perp$, obtemos que $\alpha u+\beta v\perp\ssp{u,v}$. Em particular $\alpha u+\beta v=w(\tau-1)$ e isotropico que implica que $w\perp \alpha u+\beta v$. Entao $\alpha a+\beta v\in\mbox{Rad}(V)$, que e uma contradicao.
Como $a\in\F_q^*$ e arbitrario, a expressao depois de "a" tem de ser igual a 0. Por isso, $B(w(\tau-1),w)=0$, e concluimos que $\im(\tau-1)$ e totalmente isotropico que implica que $(\tau-1)^2=0$.
Obtemos entao que existe $v\in V\setminus 0$ anistropico tal que $z=v(\tau-1)$ e anisotropico ou nulo. Conta facil mostra que se $z\neq 0$, entao $v\tau\sigma_z=v$.
Teorema (Cartan-Dieudonne). $\tau\in O(V)$ pode ser escrito como um produto de $n$ ou menos reflexoes.
Usamos indacao em $n$. Se $n=1$, entao $O(V)=\{\pm 1\}$. A transformacao $-1$ e uma reflexao, enquanto a transformacao $1$ e um produto de 0 reflexoes. Assumimos que o teorema esta valido em dimensoes menores que $n$ e provamos o resultado para dimensao $n$. Seja $\tau\in O(V)$ um coutraexemplo em dimensao $n$.
Provamos primeiro que $(\tau-1)^2=0$. Senao seja $v\in V\setminus 0$ anisotropico tal que $z=v(\tau-1)$ e anisotropico ou $z=0$. Se $z=0$, entao $v\tau=v$ e $\tau$ pode ser considerado como uma transformacao de $\ssp{v}^\perp$. Neste caso $\tau$ e produto de $n-1$ ou menos reflexoes, uma contradicao.
Seja $z\neq 0$. Entao $v\tau\sigma_z=v$. Como acima, $\tau\sigma_z$ e um produto de $n-1$ ou menos reflexoes. Entao $\tau$ e um produto de $n$ ou menos reflexoes.
Obtemos entao que $(\tau-1)^2=0$, que implica que $\im(\tau-1)\leq \ker(\tau-1)$. Obtemos que $\im(\tau-1)$ e totalmente isotropico. De facto $\ker(\tau-1)$ tem de ser t. i., pois no caso contrario $\tau$ e um produto de $n-1$ ou menos reflexoes, exatamente como no caso $z=0$.
Entao
$$
\ker(\tau-1)\leq\ker(\tau-1)^\perp=\im(\tau-1)
$$
e
$$
\im(\tau-1)=\ker(\tau-1)=\ker(\tau-1)^\perp.
$$
Consequentemente
$$
n=\dim\ker(\tau-1)+\dim\ker(\tau-1)^\perp=\dim\mbox{Fix}(\tau)+\dim\mbox{Fix}(\tau)=2\dim\mbox{Fix}(\tau).
$$
Tem-se que $\tau$ restrita a $\mbox{Fix}(\tau)$ e identidade. Logo se $v\in V$ e $W=\mbox{Fix}(\tau)$, entao $v(\tau-1)(\tau-1)=0$, que implica que $v\tau-v\in\mbox{Fix}(\tau)$ e $(v+W)\tau=v\tau+W=v+v\tau-v+W=v+W$. Entao $\tau\in SO(V)$. Se $\sigma$ e uma reflexao de $O(V)$. Entao $\tau\sigma\not\in SO(V)$. Se $\tau\sigma$ fosse um counterexemplo para o teorema, obteriamos que $\tau\sigma\in SO(V)$, que nao e o caso. Entao $\sigma\tau$ e um produto de $n$ ou menos reflexoes. Entao $\tau$ e um produto de $n+1$ ou menos reflexoes.
Como $n$ e par e $\tau\in SO(V)$. obtemos que $\tau$ nao pode ser um produto de $n+1$ reflexoes. Entao $\tau$ e um produto de $n$ reflexoes.
Corolario. Seja $\tau\in O(V)$.
- Se $\tau$ e um produto de $r$ reflexoes, entao $\dim\mbox{Fix}(\tau)\geq n-r$.
- Se $\mbox{Fix}(\tau)=0$, entao $\tau$ e produto de precisamente $n$ reflexoes.
- Se $\dim V=2$, entao toda transformacao de $O(V)\setminus SO(V)$ e uma reflexao.
- Se $\dim V=3$, e $1\neq\tau\in SO(V)$ entao $\dim\mbox{Fix}(\tau)=1$, entao $\tau$ tem um eixo de rotacao.
2. Segue diretamente de 1.
3. Se $\tau\in O(V)\setminus SO(V)$, entao $\tau$ e produto de 2 ou menos reflexoes. Como $\det\tau=-1$. nao pode ser produto de $2$ reflexoes. Entao $\tau$ e uma reflexao.
4. Se $1\neq\tau\in SO(V)$, entao $\tau$ e um produto de $2$ reflexoes. Portanto $\dim\mbox{Fix}(\tau)\geq 1$. Se $\dim\mbox{Fix}(\tau)=2$ entao $\mbox{Fix}(\tau)=\ssp{u,v}$ e a forma matricial de $\tau$ na base $\{u,v,w\}$ e
$$
\tau=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
\alpha & \beta & 1
\end{pmatrix}
$$
com $\alpha,\ \beta\in\F_1^*$. Entao $\ker(\tau-1)=\ssp{u,v}$ e $\im(\tau-1)=\alpha u+\beta v$. Como $\ker(\tau-1)=\im(\tau-1)^\perp$, obtemos que $\alpha u+\beta v\perp\ssp{u,v}$. Em particular $\alpha u+\beta v=w(\tau-1)$ e isotropico que implica que $w\perp \alpha u+\beta v$. Entao $\alpha a+\beta v\in\mbox{Rad}(V)$, que e uma contradicao.
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