$\newcommand{\P}{\mathcal P}$
$\newcommand{\C}{\mathcal C}$
$\newcommand{\F}{\mathbb F}$
$\newcommand{\T}{\mathcal T}$
$\newcommand{\ssp}[1]{\left<#1\right>}
$Vamos assumir que $V$ e um espaco com uma forma quadratica $Q$. Entao $Q$ satisfaz
ult
$$
$$ \begin{pmatrix} 0 & \mu\\ \mu & 0\end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 0 & \mu^{-1}\\ \mu^{-1} & 0\end{pmatrix} $$
$$
Q(w_1+\beta w_2)=1+\beta^2=0
$$
Em todos os casos, se $g\in O(B)$, entao $gBg^t=B$ e obtemos que $\det g=\pm 1$. A transformacao $e_1\mapsto f_1$, $f_1\mapsto e_1$, e $e_i\mapsto e_i$, $f_i\mapsto f_i$, ($i\geq 2$) e $w_i\mapsto w_i$ tem determinante $-1$. Denotamos por
$$
SO(B)=SO(Q)=\{g\in O(B)\mid\det g=1\}.
$$
Escrevemos similarmente como acima $SO(n,q)$, $SO^+(n,q)$ e SO^-(n,q)$ para denotar o mesmo grupo.
$\newcommand{\C}{\mathcal C}$
$\newcommand{\F}{\mathbb F}$
$\newcommand{\T}{\mathcal T}$
$\newcommand{\ssp}[1]{\left<#1\right>}
$Vamos assumir que $V$ e um espaco com uma forma quadratica $Q$. Entao $Q$ satisfaz
ult
- $Q(\alpha x)=\alpha^2Q(x)$
- $Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+B(x,y)$ onde $B$ e uma forma bilinear simetrica.
Vamos assumir que $char \F_q$ e impar. Entao $B$ determine $Q$:
$$
4Q(x)=Q(2x)=Q(x+x)=Q(x)+Q(x)+B(x,x)
$$
e obtemos que $2Q(x)=B(x,x)$.
Vamos assumir que $Q$ e nao degenerada que significa por definicao que $B$ e nao degenerada. O grupo de isometrias de $Q$ e $B$ e denotado por $O(Q)=O(B)$.
Vamos primeiro estudar a situacao quando $\dim V$ e impar. Neste caso ja provamos que existe uma base $\{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m,w\}$ tal que $(e_i,f_i)$ sao pares hiperbolicos mutualmente ortogonais, e $Q(w)\neq 0$. Vamos usar a afirmacao seguinte
Lema. Seja $\F_q^\box=\{x^2\mid x\in\F_q^*\}$. Entao $\F_q^\box$ e um subgrupo de $\F_q^*$ com indice 2.
Vamos fixar $\mu$ tal que $\mu\in\F_q^*\setminus\F_q^\box$. Entao $\F_q^*=\F_q^\box\cup\mu\F_q^\box$.
Se $Q(w)\in\F_q^\box$, entao $Q(w)=\beta^2$ com um $\beta\in\F_q^*$. Trocamos $w$ com $\beta^{-1}w$ e obtemos $Q(w)=1$. Neste caso obtemos uma base $\{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m,w\}$ de $V$ tal que $(e_i,f_i)$ sao pares hiperbolicos mutualmente ortogonais e $Q(w)=1$.
Se $Q(w)\not\in\F_q^\box$, entao $Q(w)=\mu\beta^2$ com $\beta\in\F_q^\box$. Fazemos a mesma troca e obtemos que $Q(w)=\mu$. Obtemos neste caso uma base $\{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m,w\}$ de $V$ tal que $(e_i,f_i)$ sao pares hiperbolicos mutualmente ortogonais e $Q(w)=\mu$.
Entao no caso de dimensao impar obtemos duas classes de isometrias de formas quadraticas.
Proposicao. Seja $V=\ssp{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m,w}$ e sejam $B_1,Q_1$ e $B_2,Q_2$ duas formas quadraticas como acima. Entao $O(B_1)\cong O(B_2)$.
Demonstracao. Seja $g$ a matriz diagonal com as entradas $(\mu,1,\mu,1,\ldots,\mu,1,1)$ na diagonal. Nos afirmamos que $O(B_1)^g=O(B_2)$. Observamos que a matriz da forma $B_1$ e bloco diagonal com os blocos 2 por 2
$$
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
$$
na diagonal e com $2$ na ultima entrada. Seja $h\in O(B_1)$. Entao $hB_1h^t=B_1$. Calculamos
$$
h^gB_2(h^g)^t=g^{-1}hgB_2g^th^tg^{-t}.$$
A matriz $gB_2g^t$ e bloco diagonal com blocos
$$ \begin{pmatrix} 0 & \mu\\ \mu & 0\end{pmatrix} $$
e $2\mu$ na ultima entrada. Entao $gB_2g^t=\mu B_1$. Consequentemente
$$
h^gB_2(h^g)^t=g^{-1}h\mu B_1 h^t g^{-t}=\mu g^{-1}h B_1 h^t g^{-t}=\mu g^{-1}B_1 g^{-t}.
$$
Similarmente como em cima $g^{-1}B_1 g^{-t}$ bloco diagonal com blocos
$$ \begin{pmatrix} 0 & \mu^{-1}\\ \mu^{-1} & 0\end{pmatrix} $$
e $2$ na ultima entrada. Entao $\mu g^{-1}B_1 g^{-t}=B_2$ que implica que $h^g\in O(B_2)$. Argumento similar mostra que se $h\in O(B_2)$ entao $h^{g^{-1}}\in O(B_1)$.
Obtemos entao que embora existam duas classes de isometrias das formas quadraticas nao degeneradas em dimensao impar, os seus grupos sao isomorfos. Neste caso escrevemos $O(n,q)$ para denotar o grupo.
Assumimos agora que $\dim V$ e impar. Neste caso $V=\ssp{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m}\oplus W$ onde $W$ e anisotropico e $\dim W=0$ ou $\dim W=2$. Assumimos que $W=\ssp{w_1,w}$. onde $B(w_1,w_2)=0$.
Por trocar $w_1$ e $w_2$ por multiplos escalares, podemos assumir que uma das seguntes possibilidades esta valida
- $Q(w_1)=Q(w_2)=1$;
- $Q(w_1)=1$ e $Q(w_2)=\mu$;
- $Q(w_1)=Q(w_2)=\mu$.
e similarmente em caso 3. que $Q(w_1+\beta w_2)=\mu+\mu\beta^2=\mu(1+\beta^2)=0$.
Obtemos neste caso que em casos 1. e 3. que $W$ nao e anisotropico. Entao obtemos so uma possibilidade.
Assumimos agora que $-1\not\in F_q^\box$. O conjunto de quadrados nao e fechado para adicao. Pois, se fosse fechado seria um subgrupo aditivo com ordem $(q-1)/2$, mas $(q-1)/2$ nao e um divisor de $q$. Logo existem $\beta_1^2,\gamma_1^2\in\F_q^\box$ tal que $\beta_1^2+\gamma_1^2=\nu_1^2\mu\not\in\F_q^\box$. Temos que $-1=\nu_2^2\mu$. Sejam $\beta=\beta_1\nu_2\nu_1^{-1}$ e $\gamma=\gamma_1\nu_2\nu_1^{-1}$ e obtemos que $\beta^2+\gamma^2=-1$.
Sejam $w_1'=\beta w_1+\gamma w_2$ e $w_2'=\gamma w_1-\beta w_2$. Entao $B(w_1',w_2')=0$ e $Q(w_1')=\beta^2+\gamma^2=-1$ e $Q(w_2')=\gamma^2+\beta^2=-1$. Entao as formas nos casos 1. e 3. sao isomorfas.
Provamos entao
Proposicao. Se $\dim V$ e par, existem duas classes de isometrias de formas quadraticas nao degeneradas. As formas estao dadas pelas seguintes bases.
- $\{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m\}$
- $\{e_1,f_1,\ldots,e_m,f_m,w_1,w_2\}$ onde $Q(w_1)=Q(w_2)=1$ se $-1\in\F_q^\box$ ou $Q(w_1)=1$ e $Q(w_2)=\mu$ se $-1\not\in\F_q^\box$.
Os gropos sao denotados por $O^+(n,q)$ no primeiro caso e $O^-(n,q)$ no segundo caso.
Em todos os casos, se $g\in O(B)$, entao $gBg^t=B$ e obtemos que $\det g=\pm 1$. A transformacao $e_1\mapsto f_1$, $f_1\mapsto e_1$, e $e_i\mapsto e_i$, $f_i\mapsto f_i$, ($i\geq 2$) e $w_i\mapsto w_i$ tem determinante $-1$. Denotamos por
$$
SO(B)=SO(Q)=\{g\in O(B)\mid\det g=1\}.
$$
Escrevemos similarmente como acima $SO(n,q)$, $SO^+(n,q)$ e SO^-(n,q)$ para denotar o mesmo grupo.
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