$SU(n,q)$ e simples

$\newcommand{\P}{\mathcal P}$
$\newcommand{\C}{\mathcal C}$
$\newcommand{\F}{\mathbb F}$
$\newcommand{\T}{\mathcal T}$
$\newcommand{\ssp}[1]{\left<#1\right>}$

Seja $\C(V)=\{\ssp v\in\P(V)\mid Q(v)=0\}$. Os grupos $U(n,q)$ e $SU(n,q)$ atuam 

sobre $\C(V)$ sabemos por Lema ??? que $SU(n,q)$ e transitivo sobre $\C(V)$. 

Seja $K$ o nucleo da acao de $U(n,q)$ sobre $\C(V)$. Claramente $\{\alpha I\mid\alpha\in\F^*\}\cap U(n,q)\leq K$. Escrevendo na base canonica, temos que $\alpha I\in U(n,q)$ se e so se $B(\alpha e_i,\alpha f_i)=0$ e $B(\alpha w,\alpha w)=1$. Daqui obtemos que $\alpha\overline\alpha=1$.  

Lema.  $K=\{\alpha I\mid\alpha\overline\alpha=1\}$. 

Seja $g\in K$. Entao $g$ manda $e_i\mapsto \alpha_i e_i$, $f_i\mapsto\beta_i f_i$, $w\mapsto\gamma w$ para todo $i$. Seja $v=e_i+\alpha f_i$ tal que $\alpha\neq 0$ e $\alpha+\overline\alpha=0$. Entao $\ssp v\in\C(V)$ e $vg=\alpha_ie_i+\alpha\beta_if_i=\delta e_i+\delta\alpha f_i$ com algum $\delta\in\F_q$. Entao $\alpha_i=\beta_i=\delta$. Obtemos entao que $\alpha_i=\beta_i$ para todo $i$. Se $m\geq 2$. entao $\ssp{e_1+e_i}\in\C(V)$, entao existe $\delta\in\F_q^*$ tal que $(e_1+e_i)g=\alpha_1e_1+\alpha_i e_i=\delta e_1+\delta e_i$, que implica que $\alpha_1=\alpha_i=\delta$. Obtemos entao que $\alpha_i=\alpha_j$ para todo $i,\ j$. Argumento similar mostra que $\beta_i=\beta_j$ para todo $i,\ j$. Finalmente seja $\alpha\in\F_q^*$ tal que $\alpha+\overline \alpha=-1$. Entao $\ssp{\alpha e_1+f_1+w}$ e existe $\delta\in\F^*$ tal que $(\alpha e_1+f_1+w)=\alpha\alpha_1e_1+\alpha_1f_1+\gamma w=\delta\alpha e_1+\delta f_1+\delta w$. Entao $\delta=\alpha_1=\gamma$. Obtemos entao que $g=\alpha I$ com um $\alpha\in\F^*$. Como, $g\in U(n,q)$, obtemos que $\alpha\overline\alpha=1$. 

Definimos $PU(n,q)$ e $PSU(n,q)$ como as imagens de $U(n,q)$ e $SU(n,q)$ sobre a acao deles em $\C(V)$. Entao $PU(n,q),\ PSU(n,q)\leq\mbox{Sym}\C(V)$ e pelo lema anterior $PU(n,q)\cong U(n,q)/K$ e $PSU(n,q)\cong SU(n,q)/(K\cap SU(n,q))$. 

Lema. $SU(n,q)$ e primitivo sobre $\C(V)$.

Se $n=2$, entao o lema esta valido, pois $SU(n,q)$ e $SL(n,q_0)$ sao permutacionalmente isomorfos nas suas acoes sobre $\C(V)$ e $\P(V)$, respetivamente. Como $SL(n,q_0)$ e primitivo, obtemos que $SU(n,q)$ e primitivo.

Seja $B\subseteq \C(V)$ um bloco com pelo menos 2 elementos. Temos entao que $Bg=B$ ou $Bg\cap B=\emptyset$ para todo $g\in SU(n,q)$. Afirmamos que existem $\ssp u,\ \ssp v\in B$ tal que $\ssp{u,v}$ e um plano hiperbolico. Es sufuciente encontrarmos $\ssp u,\ \ssp v\in B$ tal que $B(u,v)\neq 0$. 

Assumimos primeiro que $n=3$. Podemos assumir que $\ssp e\in B$. Se $\ssp x\in\C(V)$, entao $x=\alpha e+\beta f+\gamma w$. Se $B(x,e)=0$, entao $\beta=0$. No entanto neste caso $0=Q(x)=Q(\alpha e+\gamma w)=\gamma\overline\gamma$. Entao $\gamma=0$ e obtemos que $\ssp x=\ssp e$, que e uma contradicao. Entao todo elemento $\ssp x$ de $B$ tem a propriedade que $B(e,x)\neq 0$ e a afirmacao esta valida.

Assumimos entao que $n\geq 4$. Sejam $\ssp x,\ \ssp v\in B$ tal que $B(x,v)=0$. Seja $w\in V$ tal que $B(w,x)=0$ e $B(w,v)=1$. Se $Q(w)=0$, entao escolhemos $u=w$. Senao, seja $a\in\F$ tal que $a+\overline a=-Q(w)$ e seja $u=w+av$. Entao $H=\ssp{u,v}$ e um plano hiperbolico. Existe $t\in SU(H)$ tal que $\ssp vt=\ssp u$. Estendemos $t$ para $V$ atuando trivialmente sobre $H^\perp$. Temos entao que   $\ssp vt=\ssp u$ e $\ssp xt=\ssp x$. Entao $\ssp x\in B\cap Bt$ entao $B=Bt$ e entao $\ssp u\in B$. Temos entao $\ssp u, \ssp v\in B$ tal que $H=\ssp{u,v}$ e um plano hiperbolico.

Seja $\ssp x\in\C(V)$ diferente de $\ssp u$. Seja $\ssp y\in\C(V)$ tal que $B(x,y)\neq 0$ e $B(u,y)\neq 0$. Podemos assumir que $B(x,y)=1$ e $B(u,y)=1$. Existe $t, s\in SU(n,q)$ tal que $\ssp ut=\ssp u$ e $\ssp v=\ssp y$ e $\ssp us=\ssp x$ e $\ssp ys=y$.  Entao $\ssp u\in B\cap Bt$, que implica que $B=Bt$ e $\ssp y=\ssp vt\in B$. Logo $B\sigma=B$ e entao $\ssp x=\ssp us\in B$. Como $\ssp x\in\C(V)$ foi arbitrario, obtemos que $B=\C(V)$. Entao $SU(n,q)$ e primitivo.

Lema. Se $n\geq 2$ e $(n,q)\not\in\{(2,4),(2,9),(3,4)\}$ entao $SU(n,q)'=SU(n,q)$. 

Vamos provar no caso quando $q>9$. Primeiro assumimos que $n=2$. Seja $t_{v,c}$ uma transvecao. Existe um par hiperbolico $(u,v)$ em $V$.  Na base $\{u,v\}$ a $t_{v,c}$ tem forma matricial 

$$ t_{v,c}=\begin{pmatrix} 1 & c \\ 0 & 1\end{pmatrix} $$  Seja $b\in\F_0^*\setminus\{1,-1\}$ e seja $a=c/(1-b^1)$. Entao $a+\overline a=0$ e $t_{v,a}$ tem forma matricial $$ t_{v,a}=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}. $$ Entao  $$\begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b^{-1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 &1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 &b^{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & c \\ 0 &1 \end{pmatrix}
$$

Entao $t_{v,c}$ e um comutador. 

Assumimos que $n\geq 3$, e seja $t_{v,c}$ um comutador. Existe $u\in V$ tal que $(u,v)$ e um par hiperbolico. Seja $H=\ssp{u,v}$ e escrevemos $V=H\oplus H^\perp$. Entao $t_{v,c}$ atua trivialmente sobre $H^\perp$ e assum pode ser considerado como um elemento em $SU(H)=SU(2,q)$. Existem $g,h\in SU(H)$ tal que $t_{v,c}=[g,h]$. As operacoes $g,\ h$ podem ser considerados como elementos de $SU(n,q)$ atuando trivialmente sobre $H^\perp$. Portanto $t_{v,c}=[g,h]$ e $SU(n,q)'=SU(n,q)$ como foi afirmado.

Teorema. Se $n\geq 2$ e $(n,q)\not\in\{(2,4),(2,9),(3,4)\}$ entao $PSU(n,q)$ e simples.

Finalmente, seja $N=\{t_{e_1,\alpha}\mid\alpha+\overline\alpha=0$. Tem-se que $t_{e_1,\alpha}+t_{e_1,\beta}=t_{e_1,\alpha+\beta}$. Se $g\in SU(n,q)_{\ssp e_1}$ entao $t_{e,\alpha}^g=t_{eg,\alpha}$ e entao $N$ e um subgrupo normal  de $SU(n,q)_{\ssp e_1}$. Se $t_{v,\alpha}$ e uma transvecao qualquer, entao existe $g\in SU(n,q)$ tal que $e_1g=v$ entao $t_{e_1,\alpha}=t_{v,\alpha}$. Como $SU(n,q)$ e gerado por transvecoes, obtemos que $SU(n,q)$ e gerado pelos conjugados de $N$. 

Temos entao que as condicoes de Iwasawa estao validas e entao $PSU(n,q)$ e simples.